Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear nähern zu lassen. Differenzierbarkeit ist in zahlreichen mathematischen Räumen definiert.

Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer Variablen, also eine Funktion aus den reellen Zahlen in sich selbst. In diesem Fall heißt eine Funktion f differenzierbar an einer Stelle x₀ ihres Definitionsbereichts, falls der Grenzwert

existiert.

Sie heißt genau dann differenzierbar ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichts differenzierbar ist. Grafisch lässt sich dies so deuten, dass eine Funktion genau dann differenzierbar ist, wenn an jedem Punkt des Graphen von f genau eine Tangente existiert.

Für viele mathematische Sätze ist nicht die Differenzierbarkeit, sondern die stetige Differenzierbarkeit relevant, also die Frage, ob auch die differenzierte oder abgeleitete Funktion selbst noch eine stetige Funktion ist. Von ganz besonders großer Bedeutung sind in diesem Zusammenhang die unendlich oft stetig differenzierbaren oder glatten Funktionen.

Der Begriff der Differenzierbarkeit lässt sich ausdehnen auf

• mehrdimensionale Räume, wo partielle und totale Differenzierbarkeit unterschieden werden müssen.
• komplexe Räume, bei denen die reellen Zahlen durch komplexe Zahlen ersetzt werden; hier liefert Differenzierbarkeit eine wesentlich stärkere Einschränkung einer Funktion
• gekrümmte Räume bzw. differenzierbare Mannigfaltigkeiten und komplexe Mannigfaltigkeiten.

Siehe auch: Differentialrechnung