Mathe Genie Lexikon Diagonalisierung Erklärung Bedeutung und Formel

Diagonalisierung

Eine quadratische (n,n)-Matrix D heißt Diagonalmatrix, wenn alle Elemente der Matrix außerhalb der Hauptdiagonalen gleich Null sind, d.h. d_ij = 0, falls i ungleich j. Diagonalmatrizen sind deshalb alleine durch die Angabe ihrer Diagonalen bestimmt und man schreibt häufig

D=diag(d₁, d₂, ..., d_n).

Bei einer Diagonalmatrix sind die Eigenwerte die Einträge auf der Diagonalen und die Eigenvektoren sind die Einheitsvektoren. Eine große Klasse von Matrizen läßt sich durch eine Ähnlichkeitstransformation auf Diagonalform bringen, wonach man die Eigenwerte einfach ablesen kann. Diesen Prozess nennt man Diagonalisierung, die Matrizen mit dieser Eigenschaft nennt man diagonalisierbar.

Diagonalisierung

Die Matrix A soll diagonalisiert werden.

Eigenwerte $? i$ der Matrix bestimmen.
Eigenräume $E (? i)$ zu allen Eigenwerten $? i$ berechnen, also folgendes Gleichungssystem lösen:

$( A - \lambda_i I ) \cdot \begin{pmatrix} e_1 \\ \vdots \\ e_n \end{pmatrix} = 0$
Nun ist die Diagonalform A' der Matrix A bezüglich der Basis b:

$A' = \begin{pmatrix} \lambda _1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \,\,\,\, b = \{E(\lambda_1), ..., E(\lambda_n)\}$

Beispiel

Die durch

$diag \left(1,3,5\right)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

gegebene Matrix ist diagonal. Die Eigenwerte dieser Matrix sind

$\lambda_1=1,\quad\lambda_2=3,\quad \lambda_3=5$

Die zugehörigen Eigenvektoren lauten

$e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad e_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Siehe auch: Jordansche Normalform

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