Dezimalbruchentwicklung

Inhaltsverzeichnis

1 Dezimalbruchentwicklung

1.1 Definition
1.2 Erläuterungen

1.2.1 Darstellung natürlicher Zahlen
1.2.2 Betrachtung von reellen und rationalen Zahlen x

Dezimalbruchentwicklung

Definition

Zahlen x mit endlicher oder unendlicher Dezimalbruchentwicklung $x = a n a n - 1... a 2 a 1, d - 1 d - 2$ nennen wir reelle Zahlen.
Schreibweise: $x \in \mathbb{R}$
Rationale Zahlen haben eine endliche oder periodische Dezimalentwicklung. Ist die Folge $d - 1 d - 2 ...$ unendlich und nichtperiodisch, so ist x keine rationale Zahl. Eine solche Zahl heißt irrational.

Erläuterungen

Darstellung natürlicher Zahlen

$m = \sum_{k = 0}^n {a_k 10^k }$
Kurzschreibweise: $a n a n - 1 ... a 1 a 0$

Betrachtung von reellen und rationalen Zahlen x

$x \notin {\Bbb Z}$
$\exists g \in {\Bbb Z}$ mit $g < = x < g + 1$
Es gibt eine ganze Zahl g, so dass a in das Intervall [ g, g+1 ) eingeschachtelt werden kann.
Es gibt dann genau ein $k \in \left\{ {0,1,...,9} \right\}$ mit $a \in 1_k = d_{-1}$ .
Intervallschreibweise: $\left[ {g + \frac{k}{{10}};g + \frac{{k + 1}}{{10}}} \right)$
$\Rightarrow d_{ - k} = \frac{{1_k }}{{10^{ - k} }}$
Dieses Intervall teilt man erneut in 10 gleich große Teile, es gilt dann $k \in \left\{ {0,1,...,9} \right\}$ mit $a \in 1_k = d_{-2}$ .
Diese Prozedur kann beliebig iterieren; man erhält

- Endliche Dezimaldarstellung: $x = a n a n - 1 ... a 1 a 0, d - 1 d - 2 ... d m$ $n \in {\Bbb N}$ $m < \infty$
- Unendliche Dezimaldarstellung: $x = a n a n - 1 ... a 1 a 0, d - 1 d - 2 ... d m$ $n,m \in {\Bbb N}$

$x = \sum_{k = 0}^n {a_k 10^k } + \sum_{k = 1}^m {d_{ - k} 10^{ - k} }$ $a_k ,d_{ - k} \in \left\{ {0,1,...,9} \right\}$

12.06.2004 (c) StS

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