Die Abstrakte Algebra ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen und Körpern beschäftigt. Die Bezeichnung "abstrakte" Algebra dient der Abgrenzung zu anderen Teilgebieten der Mathematik, die, historisch bedingt, ebenfalls als Algebra bezeichnet werden, wie etwa die elementare Algebra der Schulmathematik.

In der Geschichte der Mathematik tauchten algebraische Strukturen zuerst in anderen Teilgebieten der Mathematik auf, wurden dann axiomatisch spezifiziert, und schließlich als eigenständige Gebilde in der abstrakten Algebra untersucht. Deshalb hat die abstrakte Algebra viele Verbindungen zu allen Zweigen der Mathematik.

Beispiele algebraischer Strukturen

Für eine ausführlichere Übersicht siehe Hierarchie_mathematischer_Strukturen.

Mit einer zweistelligen Verknüpfung

• Halbgruppe
• Monoid
• Gruppe

Mit mehreren Verknüpfungen

• Ring, Körper
• Modul, Vektorraum
• assoziative Algebra, Lie-Algebra
• Verband, Boolsche Algebra

Universelle Algebra

In der universellen Algebra werden alle Definitionen und Sätze versammelt, die allen algebraischen Strukturen gemeinsam sind. Alle oben angegebenen Klassen von Strukturen, zusammen mit ihren jeweiligen Homomorphismen, bilden Kategorien, und die Kategorientheorie liefert einen formalen Rahmen, in dem man verschiedene algebraische Strukturen vergleichen und Aussagen zwischen ihnen transferieren kann.