Der absolute Betrag, Absolutbetrag oder auch schlicht Betrag einer Zahl ist immer eine positive Zahl oder Null. Man schreibt den Betrag einer Zahl x als |x| oder als
abs(x).
| Inhaltsverzeichnis |
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1 Konkrete Beispiele
2 Betrag und Metrik
3 Beispiele
4 Verallgemeinerung: Norm
5 Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung
6 Weblink
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Konkrete Beispiele
Bei den reellen Zahlen ist der Betrag der Zahl die Zahl selbst, wenn
sie positiv oder Null ist:
- | x | = x. (Beispiel: | 3 | = 3)
Wenn die Zahl negativ ist, gilt:
- | x | = - x. (Beispiel: | - 4 | = - ( - 4) = 4)
Man kann den Betrag auch als Entfernung der Zahl vom Nullpunkt auf der Zahlengerade ansehen.
Bei komplexen Zahlen
Übertragen auf komplexe Zahlen ist der Absolutbetrag einer Zahl z = a + ib die Entfernung dieser Zahl vom Ursprung der Gaußschen Zahlenebene. Für die komplexe Zahl z ist
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Betrag und Metrik
Über den Betrag kann man eine Abstandsfunktion (Metrik)
definieren: Der Abstand d(x,y) zweier Zahlen x, y ist der Betrag ihrer Differenz
|x - y|.
Ist der Betrag nichtarchimedisch (siehe unten), dann ist die erzeugte Metrik eine Ultrametrik.
Beispiele
|x+3| = 5 Gesucht ist x
1. x + 3 = 5
2. -(x + 3) = 5
- daraus folgt - x - 3 = 5
- daraus folgt - x = 8
- daraus folgt x = - 8
Verallgemeinerung: Norm
Der Absolutbetrag ist eine spezielle Norm; den Begriff Norm kann
man als eine Verallgemeinerung des Absolutbetrags verstehen.
Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung
Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion |·| von einem Körper K in die reellen Zahlen folgende Eigenschaften erfüllt:
- 1. |x| ? 0 für alle x und |x| = 0 genau dann, wenn x = 0.
- 2. |x|·|y| = |x·y| für alle x, y
- 3. |x + y| ? |x| + |y| (die Dreiecksungleichung)
Gilt zudem
- 4. |x + y| ? max{|x|,|y|}
so spricht von einem nichtarchimedischen, andernfalls von einem archimedischen Betrag. Die oben genannte
Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen ist archimedisch. Da 3. aus 4. folgt, nennt man 4. auch die verschärfte
Dreiecksungleichung. Nichtarchimedische Beträge spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der p-adischen Zahlen.
Hat man einen nichtarchimedischen Betrag |·|, und wählt eine positive reelle Zahl b, dann hat die Funktion
v: K ? R ? {?} mit v(x) = - logb( |
x | ) für x?0 und v(0)=?? folgende Eigenschaften:
- 1. v(x) = ?? genau dann, wenn x = 0.
- 2. v(x·y) = v(x) + v(y) für alle x, y
- 3. v(x + y) ? max{v(x), v(y)}
Eine Funktion v: K ? R ? {?} mit diesen drei Eigenschaften nennt man eine
Bewertung auf K.
Umgekehrt kann man einer Bewertung v einen nichtarchimedischen Betrag zuordnen, indem man für eine positive reelle
Zahl b setzt: |x| = b?v(x).
Weblink
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