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Die Cauchy-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
![f(x) = \frac{1}{s\pi[1 + ((x-t)/s)^2]}](lexikon/Mathematik-Statistik-Wahrscheinlichkeitsverteilung-Cauchy-Verteilung-0.png) .
Mit dem Zentrum t=0 und dem Breitenparameter s=1 ergibt sich die
Standard-Cauchy-Verteilung
| Inhaltsverzeichnis |
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1 Eigenschaften
2 Vorkommen
3 Anwendungsbeispiel
4 Literatur
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Eigenschaften
Die Cauchy-Verteilung gilt als Prototyp einer Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, da die entsprechenden Integrale
divergieren. Jedoch besitzt sie einen Median  und einen Modus.
Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven
Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der Mittelwert
(X1+X2+..+Xn)/n aus n
Standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst Standard-Cauchy-verteilt.
Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle Lévy-Verteilung mit dem Exponentenparameter ?=1.
Vorkommen
Der Quotient aus zwei Standard-normalverteilten Zufallsvariablen
ist Standard-Cauchy-verteilt.
Die Cauchy-Verteilung ist eine Students t-Verteilung
mit genau einem Freiheitsgrad.
Außerhalb der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Cauchy-Verteilung auch als Lorentz-Verteilung bekannt.
Anwendungsbeispiel
Bei der Cauchy-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1% größten Werte einer
standardnormalverteilten Zufallsvariablen X mindestens 2,58, beträgt bei einer Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die
entsprechende Untergrenze ca. 31. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen,
verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.
Literatur
- W. Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications
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