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Mathematik Begriff Erklärung Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Formel Hilfe Hausaufgabeb
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung


Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als Schwarz-Ungleichung oder Cauchy-Bunyakovski-Schwarz-Ungleichung, ist eine nützliche Ungleichung, die in vielen Bereichen verwendet wird, z.B. Lineare Algebra (Vektoren), Analysis (unendliche Reihe)n und Integration von Produkten. Die Ungleichung sagt aus: Wenn x und y Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums sind, dann gilt:

\left|\langle x,y \rangle\right|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y,y\rangle

Beide Seiten sind genau dann gleich, wenn x und y linear abhängig sind.

Eine wichtige Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das Vektor-Produkt eine stetige Funktion ist.

Auf euklidische Räume Rn angewandt, erhält man:

\left(\sum x_i \cdot y_i\right)^2 \leq \left(\sum x_i^2\right) \cdot \left(\sum y_i^2\right)

Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man:

\left|\int f \cdot g\, dx\right|^2 \leq \left(\int \left|f\right|^2\, dx\right) \cdot \left(\int \left|g\right|^2\, dx\right)

Die beiden letzten Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.

Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy und Herrmann Amandus Schwarz.

Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann man die Heisenbergsche Unschärferelation herleiten.

siehe auch: Dreiecksungleichung.
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