Mathe Genie Lexikon Cauchy-Folge Erklärung Bedeutung und Formel

Cauchy-Folge

In der Mathematik ist eine Cauchy-Folge eine spezielle, vor allem in der Analysis verwendete Art von Folgen. Sie sind nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy benannt.

Cauchy-Folgen in einer Menge $X$ kann man nur definieren, wenn auf $X$ eine Metrik $d$ vorhanden ist. Das Paar $(X, d)$ wird dann als metrischer Raum bezeichnet. Die Menge der reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand $d (x, y) = | x - y |$ (siehe absoluter Betrag) ist zum Beispiel ein metrischer Raum.

Definition

Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum. Eine Folge $(x i)$ in $X$ heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

$\forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\in\mathbb{N},n\geq m>N:d(x_m, x_n) < \varepsilon$

Das bedeutet: Zu jedem reellen $\varepsilon > 0$ gibt es eine natürliche Zahl $N$ , so dass für alle natürlichen Zahlen $n\geq m > N$ folgende Bedingung gilt: $d(x_m, x_n) < \varepsilon$ .

Beispiele

Wenn nichts anderes gesagt wird, beziehen sich die Beispiele auf die reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand.

Die Folge $x n = 1 / n$ ist eine Cauchy-Folge:

Sei $\varepsilon>0$ beliebig vorgegeben. Wähle $N$ so, dass $N>1/\varepsilon$ erfüllt ist. Seien $n\geq m>N$ beliebig, dann gilt:

$d(x_m, x_n) = |1/m - 1/n| = |\frac{n-m}{mn}| \leq \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} < \frac{1}{N} < \varepsilon$

Die Folge $x n = n$ ist keine Cauchy-Folge:

Sei $\varepsilon=1/2$ gewählt, und $N$ eine beliebige natürliche Zahl. Dann wähle $m = N + 1$ und $n = m + 1$ . Es ist dann

$d(x_n, x_m) = |n-m| = 1 > \varepsilon$ ,

die Bedingung einer Cauchy-Folge ist also nicht erfüllt.

Eigenschaften

Ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, wird vollständiger Raum genannt. Das heißt, in einem solchen Raum besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, der Element des Raumes ist. Konvergente Folgen sind stets Cauchy-Folgen, die Umkehrung gilt aber nicht immer.

Zum Beispiel sind die reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand vollständig, aber die rationalen Zahlen nicht.

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