Mathe Genie Lexikon Casus irreducibilis Erklärung Bedeutung und Formel

Casus irreducibilis

In der Mathematik ist der Casus irreducibilis (lat. für "nicht zurückführbarer Fall") der Fall beim Lösen einer kubischen Gleichung der Form

x 3 + p x + q = 0

wenn der Ausdruck

$\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$

kleiner als 0 ist.

Da eine kubische Gleichung stets mindestens eine reelle Lösung hat, stellte der Casus irreducibilis die Mathematiker früherer Jahrhunderte vor große Probleme, denn in der Cardanischen Lösungsformel müsste man die Quadratwurzel aus dieser negativen Zahl ziehen. Dieses Problem (und nicht die Untersuchung quadratischer Gleichungen) führte letztendlich zur Einführung der komplexen Zahl.

Im Fall des Casus irreducibilis hat eine kubische Gleichung drei reelle Lösungen, die sich so darstellen lassen:

$x_1 = 2\,\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{-q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\right)$
$x_2 = -2\,\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{-q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right) + \frac{\pi}{3}\right)$
$x_3 = -2\,\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{-q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right) - \frac{\pi}{3}\right)$

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