Mathe Genie Lexikon Cardanische Formeln Erklärung Bedeutung und Formel

Cardanische Formeln

Die Cardanischen Formeln sind Formeln zur Lösung reduzierter kubischer Gleichungen und biquadratischer Gleichungen (Gleichungen 3. und 4. Grades). Sie sind benannt nach dem Mathematiker Cardano. Die kardanischen Formeln waren der Anlass für die Einführung der komplexen Zahlen, da man im Fall des Casus Irreducibilis vor dem Problem steht, aus einer negativen Zahl eine Quadratwurzel zu ziehen.

Lösungsweg für kubische Gleichung

Reduktion der allgemeinen kubischen Gleichung $a x 3 + b x 2 + c x + d = 0$ zu einer Gleichung ohne quadratisches Glied $x 3 + p x + q = 0$ .
Substitution von x durch (u + v). Mit Hilfe des Satzes von Vieta ergibt sich eine quadratische Gleichung.
Lösung dieser quadratischen Gleichung und Resubstitution.

Ausführlicher Lösungsweg für kubische Gleichung

Kubische Gleichung: $a x 3 + b x 2 + c x + d = 0$

Durch Substitution mit

$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2} ;\qquad q=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}$

in die Form $x 3 + p x + q = 0$ bringen.

Lösung

Fall 1: $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}>0$

Eine reelle Lösung:

$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}$

Fall 2: $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=0$

Zwei reelle Lösungen:

$x_1=\sqrt[3]{\frac{q}{2}}-\frac{b}{3a}$

$x_2=-\sqrt[3]{4q}-\frac{b}{3a}$

Fall 3: $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$ (Casus irreducibilis)

Drei reelle Lösungen:

$x_1= 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\right)-\frac{b}{3a}$

$x_{2,3}=-2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\pm\frac{\pi}{3}\right)-\frac{b}{3a}$

Ausführlicher Lösungsweg für biquadratische Gleichung

$a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0$

Substitution mit $p=\frac{3bd-c^2}{12a^2}-\frac{e}{a} ;\qquad q=\frac{8ce-3d^2}{24a^2}-\frac{27b^2e-9bcd+2c^3}{216a^3}$

z ist eine beliebige Lösung der Gleichung $z 3 + p z + q = 0$ .

Mit $y=z+\frac{c}{6a}$ ergibt sich:

Fall 1: $\frac{b}{a}y-\frac{d}{a}>0$

$x_{1,2,3,4}=-\frac{b}{4a}\pm\frac{1}{2}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{b^2}{8a^2}-\frac{1}{2}y-\frac{c}{4a}\pm\left(\frac{b}{4a}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}-\sqrt{y^2-\frac{e}{a}}\right)}$

Fall 2: $\frac{b}{a}y-\frac{d}{a}<0$

$x_{1,2}=-\frac{b}{4a}\mp\frac{1}{2}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}-\sqrt{\frac{b^2}{8a^2}-\frac{1}{2}y-\frac{c}{4a}\pm\left(\frac{b}{4a}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}+\sqrt{y^2-\frac{e}{a}}\right)}$

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