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Die Bézierkurve wurde Anfang der 1960er Jahre unabhängig
voneinander von Pierre Bézier bei Renault und Paul de Casteljau bei Citroën entwickelt. Paul de
Casteljau gelang zwar die Entdeckung früher, Citroën hielt seine Forschungen jedoch bis zum Ende der 1960er Jahre als
Betriebsgeheimnis zurück.
Eine n-dimensionale Bézierkurve ist eine Kurve der Form
 , mit den
Kontrollpunkten Pi und den Bernsteinpolynomen Bi,n(t) und
 .
Am gebräuchlichsten sind kubische (n = 3) Bézierkurven. Während es prinzipiell auch andere
Darstellungen für Kurven gibt, eignet sich die Bernsteinform am besten für den interaktiven Entwurf am Bildschirm, da sich die
Bézierkurve an das Polygon der Kontrollpunkte (das Kontrollpolygon) annähert
und so leicht intuitiv zu bearbeiten ist.
Weitere wichtige Eigenschaften jeder Bézierkurve:
- sie geht genau durch die Endpunkte P0 und Pn.
- sie liegt innerhalb der konvexen Hülle des
Kontrollpolygons.
- in den Endpunkten ist sie tangential zu P1 - P0 und
Pn - Pn - 1.
- eine Linie schneidet eine Bézierkurve höchstens so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet.
- eine affine Transformation (Verschiebung, Skalierung,
Rotation, Scherung) kann auf die Bézierkurve auch dadurch angewendet werden, dass man sie auf deren Kontrollpolygon anwendet
("affine
Invarianz").
In der Computergrafik werden Bézierkurven zur Definition von Kurven
und Flächen im Rahmen des Computer Aided Designs (CAD)
und zur Beschreibung von Schriften (z.B. True Type Fonts) verwendet.
Die Auswertung einer Bézierkurve in einem bestimmten Punkt kann schnell mit Hilfe des de
Casteljau-Algorithmus erfolgen.
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