Definition

Ein Graph heißt in der Graphentheorie bipartit (auch paar), falls sich seine Knoten in zwei disjunkte Teilmengen aufteilen lassen (Bipartition), so dass es zwischen den Knoten innerhalb einer Teilmenge keine Kanten gibt.

Formal

Ein Graph K_m,n: = G(E,K) heißt bipartit, falls E = A + B aus zwei disjunkten Teilmengen A und B besteht mit und für alle Kanten mit gilt.

Ein Graph K_m,n heißt vollständig bipartit falls und , d.h. alle Kanten zwischen A und B sind vorhanden.

Folgerungen

Die Teilmengen A und B sind stabile Mengen und die Bipartition impliziert eine mögliche 2-Färbung des Graphen. Umgekehrt sind alle 2-färbbaren Graphen bipartit.

Für bipartite Graphen lassen sich viele Grapheneigenschaften mit weniger Aufwand berechnen, als dies im allgemeinen Fall möglich ist.

Mit einem einfachen Algorithmus, der auf Tiefensuche basiert, lässt sich in Linerarer Zeit bestimmen, ob ein Graph bipartit ist, und eine gültige Partition bzw. 2-Färbung ermitteln.

Eigenschaften

• Die Paarungszahl entspricht der Knotenüberdeckungszahl.
• Mit dem Algorithmus von Hopcroft und Karp lässt sich in O(?nm) eine größte Paarung finden und darüber auch die Stabilitätszahl bestimmen.
• Der chromatische Index entspricht seinem Maximalgrad. Eine gültige Kantenfärbung lässt sich in O(nm) bestimmen.
• Ein regulärer bipartiter Graph besitzt ein perfektes Matching.

Siehe auch

k-partiter Graph,Typen von Graphen in der Graphentheorie