Mathe Genie Lexikon Binomischer Lehrsatz Erklärung Bedeutung und Formel

Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form

$(x+y)^{n},\quad n\in\mathbb{N}$

als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Es gilt für alle reellen oder komplexen Zahlen x und y und für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung:

$(x+y)^n = f(x,y) = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} x^{k}y^{n-k} \quad (1)$

Die Koeffizienten dieses Polynoms sind wie folgt definiert:

${n \choose k} = \frac {n!}{(n-k)!k!}$

(n! bezeichnet hierbei die Fakultät von n)

Sie werden aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz als Binomialkoeffizienten bezeichnet. (Pascalsches Dreieck)

Für jedes einzelne n kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Isaac Newton ist eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten ? mittels unendlicher Reihen zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn ? eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

$(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{\alpha \choose k}x^{k}y^{\alpha - k} \quad (2)$

Diese Reihe ist im Fall, dass ? nicht positiv und ganzzahlig ist, konvergent für alle $x,y\in\mathbb{C}$ mit $| x / y | < 1$ .

Für $\alpha\in\mathbb{N}$ geht Gleichung (2) aber in (1) über und ist gültig für alle $x,y\in\mathbb{C}$ und alle $n\in\mathbb{N}$ .

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

${\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2) \cdots (\alpha - k + 1)}{k!}$

(Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.)

Für ? = -1 und y = 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die Geometrische Reihe.

Weiterführende Literatur

M. Barner, F. Flohr Analysis I. de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.

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