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Bijektivität (bijektiv oder umkehrbar eindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.
Eine bijektive Funktion ist eine Funktion, die verschiedene Elemente ihres Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente des Wertebereichs abbildet (sie ist injektiv), und für
die zusätzlich jedes Element des Wertebereichs als Bild auftritt (sie ist
surjektiv). Eine bijektive Funktion hat daher immer eine vollständig
definierte Umkehrfunktion.
Die "Anzahl der Elemente" der Definitionsmenge, Bildmenge und der Wertemenge einer
bijektiven Funktion sind stets gleich groß (mit Hilfe von Bijektionen wird der Begriff der Gleichmächtigkeit definiert), diese Eigenschaft reicht aber nicht zur Definition einer bijektiven
Funktion aus.
Definition
Sei f eine Funktion von X nach Y. 
f ist bijektiv, wenn für alle  genau ein  mit f(x) = y
existiert.
(genau eins bedeutet eins und nur eins)
alternativ:
f ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform
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Mengenkastendarstellung.
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Mengenkastendarstellung.
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Mengenwolkendarstellung.
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Beispiele und Gegenbeispiele
Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, dann ist eine injektive Abbildung von A nach B bereits bijektiv, ebenso ist eine surjektive Abbildung schon bijektiv.
Für unendliche Mengen muss das nicht gelten. Unendliche Mengen können z.B.
injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge in sich selbst,
die nicht injektiv sind. Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts
Hotel detaillierter beschrieben.
Ein konkretes Beispiel (die Abbildung f(x) = x2 mit verschiedenen
Definitions- und Wertebereichen) gibt der Artikel Injektivität.
Vergleich
Injektivität, Surjektivität
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