Mathe Genie Lexikon Biharmonische Funktion Erklärung Bedeutung und Formel

Biharmonische Funktion

Eine mathematische Funktion $u (x, y)$ heißt biharmonisch in einem Gebiet $D$ , falls sie die sogenannte biharmonische Gleichung

$\triangle\triangle u(x,y)= 0$

für alle Punkte $(x, y)? D$ erfüllt. $\triangle$ ist hierbei der Laplace-Operator. Die biharmonische Gleichung ist also eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung für die unbekannte Funktion $u (x, y)$ .

In der Praxis tritt diese Gleichung zum Beispiel in der Kontinuumsmechanik bei Platten auf. Die Verformung $u (x, y)$ einer Platte in einem Punkt $(x, y)$ gehorcht in erster Näherung der inhomogenen biharmonischen Gleichung:

$\triangle\triangle u(x,y)= f(x,y)$

Hier ist $f (x, y)$ die Kraft(dichte), die auf die Platte ausgeübt wird.

Harmonische Funktionen sind auch immer biharmonische Funktionen.

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