Mathe Genie Lexikon Bernsteinpolynom Erklärung Bedeutung und Formel

Bernsteinpolynom

Die Bernsteinpolynome wurden 1911 von Sergei Natanovich Bernstein entwickelt.

Sie sind definiert als

$B_{i,n}(t) = {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i}$

mit der Dimension $n$ , dem Index 0 ? i ? n und dem Binomialkoeffizient

${n \choose i} = \frac{n!}{i! (n-i)!}$

Die folgende Abbildung zeigt die Polynome B_0,4 bis B_4,4:

$Die Bernsteinpolynome B_{i,4}$

Mit Hilfe von Bernsteinpolynomen lässt sich die Bézierkurve in Bernsteinform mit Kontrollpunkten darstellen.

Eigenschaften

Nicht-Negativität:

$B_{i,n}(t) \ge 0$ für alle $i$ , $n$ und $0 \le t \le 1$
Teilung der Einheit:

$\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) = 1$ für alle $0 \le t \le 1$
$B 0, n (0) = B n, n (1) = 1$
Maximum: $B i, n (t)$ besitzt im Intervall [0, 1] genau ein Maximum. Es befindet sich an der Stelle $t = i / n$
Symmetrie: Der Satz von Polynomen ${B i, n (t)}$ ist für jedes $n$ symmetrisch bezüglich $t = 1 / 2$
Rekursive Definition:

$B_{i,n}(t) = (1-t) \cdot B_{i,n-1}(t) + t \cdot B_{i-1,n-1}(t)$ , mit der Definition

$B_{i,n}(t) \equiv 0$ für $i < 0$ oder $i > n$
Ableitungen:

$B'_{i,n}(t) = n \left( B_{i-1,n-1}(t) - B_{i,n-1}(t) \right )$ , mit der Definition

$B_{-1,n-1}(t) \equiv B_{n,n-1}(t) \equiv 0$

Bernstein, S.N., Démonstration du Théorème de Weierstrass fondée sûr le calcul dés Probabilités (http://www.math.technion.ac.il/hat/fpapers/P03.PDF), Commun. Soc. Math. Khrakow, Vol. 12, No. 2, pp. 1-2, 1912.

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