In der abstrakten Algebra ist eine abelsche Gruppe eine Gruppe (G, *), für die dasKommutativgesetz

a * b = b * a für alle a,b in G

gilt. Sie ist benannt nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel.

Ist eine Gruppe abelsch, dann schreibt man ihre Verknüpfung meist als Addition +, das neutrale Element als 0 (das wird dann auch Nullelement genannt) und das Inverse von a als -a (das Negative von a).

Beispiele

Jede zyklische Gruppe ist abelsch, wie z.B. die additive Gruppe (Z, +) der ganzen Zahlen oder die Addition im Restklassenring Z/nZ.

Die reellen Zahlen bilden eine abelsche Gruppe mit der Addition, ohne die Null bilden sie eine abelsche Gruppe mit der Multiplikation.

Allgemeiner liefert jeder Körper (K, +, *) zwei abelsche Gruppen in derselben Weise: (K, +) und (K\{0}, *).

Ein weiteres Beispiel ist die Faktorgruppe Q/Z, die isomorph zur (multiplikativen) Gruppe der komplexen Einheitswurzeln ist. Die Faktorgruppe R/Z ist isomorph zur Gruppe aller komplexen Zahlen mit Betrag 1.

Eigenschaften

Für eine (kleine) endliche Gruppe erkennt man leicht, ob sie abelsch ist:

Die Gruppentafel einer endlichen Gruppe ist genau dann symmetrisch zur Hauptdiagonalen, die von links oben nach rechts unten führt, wenn sie abelsch ist.

Ist n eine natürliche Zahl und x ein Element der abelschen Gruppe G, dann kann man nx definieren als die Summe x+x+...+x mit genau n Summanden, 0x als 0 (das neutrale Element der Gruppe) und (-n)x als -(nx). Auf diese Weise wird G zu einem Modul über dem Ring Z. Da jeder Z-Modul eine abelsche Gruppe ist, kann man also die Z-Moduln mit den abelschen Gruppen identifizieren. Theoreme über abelsche Gruppen können so oft verallgemeinert werden zu Sätzen für Moduln über Hauptidealringen. Ein Beispiel ist die Klassifikation der endlich erzeugten abelschen Gruppen.

Eine Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen liefert der Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen:

Jede endliche abelsche Gruppe lässt sich zerlegen in eine direkte Summezylischer Untergruppen von Primpotenz-Ordnung. Dabei sind die Ordnungen dieser Untergruppen bis auf Reihenfolge eindeutig bestimmt.

Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist Normalteiler, also kann man zu jeder Untergruppe eine Faktorgruppe erzeugen. Untergruppen, Faktorgruppen, Produkte und direkte Summen abelscher Gruppen sind wieder abelsch.

Sind f, g: G -> H zwei Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen, dann ist ihre Summe f+g, definiert durch

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

ebenfalls ein Homomorphismus. (Das gälte nicht, wenn H nicht abelsch wäre.) Die Menge Hom(G, H) aller Gruppenhomomorphismen wird mit dieser Addition selbst zu einer abelschen Gruppe.

Die abelschen Gruppen mit ihren Homomorphismen bilden eine Kategorie. Diese ist der Prototyp einer abelschen Kategorie.

Ähnlich wie ein Vektorraum eine Dimension hat, hat jede abelsche Gruppe einen Rang. Er ist definiert als die größte Mächtigkeit einer Z-linear unabhängigen Teilmenge. Die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen Q haben Rang 1, so wie jede Untergruppe von Q. Die abelschen Gruppen vom Rang 1 sind gut verstanden, dagegen sind für höhere Ränge noch viele Fragen offen. Abelsche Gruppen mit unendlichem Rang können extrem komplex sein und ihre offenen Fragen sind oft eng verbunden mit Fragen der Mengenlehre.

Viele abelsche Gruppen haben eine natürliche Topologie, durch die sie zu topologischen Gruppen werden.