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Axiom (v. griech.: tà to~n progónon
axiómata = als wahr angenommener Grundsatz) nennt man eine Aussage, die grundlegend ist und deshalb nicht innerhalb ihres Systems begründet werden kann bzw. muss. Sie dient als Grundlage
für eine deduktive Theorie
(vgl. auch Prinzip) und kann deshalb nicht selber durch diese Theorie begründet
werden. Wenn eine Theorie aus begründeten Sätzen bestehen soll, so muss es notwendigerweise solche Axiome geben, denn sonst würde
die Argumentation nie enden: Jeder Satz, den ich zur Begründung anführte, bedürfte wieder einer Begründung usw. Daher ist ein Axiom etwas
ganz anderes als eine Vermutung.
- Ausnahme: der Logizismus,
vertreten von Gottlob Frege, der zumindest die elementare Arithmetik rein logisch zu begründen suchte. (Aber dann stellt sich - nicht für ihn,
aber für uns - die Frage nach der Begründung der Logik).
Mehrere Axiome können zu einem Axiomensystem gehören, wenn sie in
keinem Widerspruch zueinander stehen. So definieren z.B. die Körperaxiome in Verbindung mit den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom die reellen Zahlen:
Alle wahren Aussagen über reelle Zahlen lassen sich aus diesen Axiomen ableiten.
Wenn eine deduktive Theorie irgendeinen Anspruch auf Gültigkeit haben soll, so müssen ihre Axiome wohlbegründet sein (nur eben nicht
mit den Mitteln dieser Theorie). Sie müssen "selbstverständlich" und "offenbar" sein. Mit Gödel u.a.: Axiomata in einer logischen Sprache können nur außerhalb ihrer selbst, in einer "Metasprache" begründet werden. Die Axiome dieser Sprache also nur in einer
"Meta-meta-Sprache", und so fort. Die allerletzte Sprache (das 'allererste Kettenglied') ist auch für Logiker dann die sog.
Umgangssprache.
Beispiele:
- Parallelenaxiom: "Zu jeder/m Geraden / Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, gibt es genau eine
Parallele durch diesen Punkt." Dieses Axiom der euklidischen Geometrie war immer als weniger klar und
einleuchtend erschienen als die anderen und es gab viele Versuche, es aus den anderen abzuleiten. Schließlich wurden um die Wende
zum 19. Jahrhundert nichteuklidische Geometrien
konzipiert, die bewiesen, dass es logisch unabhängig ist.
- "Zu jedem Prädikat P gibt es die Menge aller Dinge, die dieses Prädikat
erfüllen." Dies ist das ursprüngliche Komprehensionsaxiom der Mengenlehre Georg Cantors, das so klar und einfach, so selbstverständlich ist, dass es einen
großen Schock
bedeutete, als sich herausstellte, dass es nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte.
- "Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n + 1" ist ein offenbar nicht umstrittenes Axiom(enschema) der
Arithmetik. Es ist plausibel, weil es die Zählbewegung simuliert (man kann es
mit Streichhölzern schreiben), deren protomathematische Evidenz klar ist.
- "Der Raum ist homogen", d.h. es darf keine Rolle spielen, an welcher willkürlich
gewählten Stelle im Raum ein Vorgang stattfindet, solange nur alle anderen
Rahmenbedingungen gleich sind. Sollte dieses Axiom nicht erfüllt sein, gäbe es auf irgendeine Weise ausgezeichnete Stellen im
Raum, deren Eigenschaften und Herkunft nur noch im Rahmen einer Religion erklärbar sind (tatsächlich definieren
fast alle Religionen so etwas wie ein Jenseits, also einen Ort im Raum, an dem die
sonst üblichen Gesetzmäßigkeiten nicht mehr gültig sind). In der klassischen Physik
folgt direkt aus diesem Axiom die Erhaltung des Impulses.
- "Wahr ist Falsch", ein Axiom muss keine Konsequenz einer übergeordneten
Schlussfolgerungskette sein. Aus einer Theorie, die ein solches Axiom enthält, lassen
sich aber beliebige Schlussfolgerungen ziehen.
- Ein Axiom einer Religion oder Weltanschauung wird Dogma oder Paradigma genannt.
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