Mathe Genie Lexikon Asymptote Erklärung Bedeutung und Formel

Asymptote

Asymptote ist eine Tangente in der Unendlichkeit.
In der Mathematik betrachtet man Asymptoten (altgriechisch: Nichtzusammenfallende) bei der Kurvendiskussion. Eine Asymptote der Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ist eine Gerade oder eine einfache Funktion, der sich die Funktion f beliebig annähert.

Man unterscheidet zwischen verschiedenen Typen von Asymptoten.

Hat f im Punkt t eine Polstelle, d.h. gilt

$\lim_{x\to t,x<t} f(x) = \pm\infty,\, \lim_{x\to t,x>t} f(x) = \pm\infty,$ ,

dann nennt man die Gerade x = t eine senkrechte (oder vertikale) Asymptote von f.

Konvergiert f für $x$ gegen $\infty$ gegen eine reelle Zahl h, d.h. gilt

$\lim_{x\to \infty} f(x) = h$ ,

dann nennt man die Gerade y = h eine waagerechte (oder horizontale) Asymptote von f. Analoges gilt für den Grenzwert x->-?.

Ist p: R -> R ein Polynom, dem sich f beim Grenzübergang nach +? oder -? beliebig annähert, d.h. gilt

$\lim_{x\to\infty} f(x)-p(x) = 0$ oder $\lim_{x\to-\infty} f(x)-p(x) = 0$ ,

dann nennt man p eine schräge Asymptote von f. Ist f = g/h eine rationale Funktion (mit Polynomen g und h), dann hat f stets eine schräge Asymtote. Sie ist das bei Polynomdivision von g durch h entstehende Polynom p. Der senkrechte Abstand zu p wird durch die echt gebrochenrationale Restfunktion angegeben, die dieselben senkrechten Asymptoten wie f hat und die waagerechte Asymptote y = 0.

Beispiele

Die Funktion

$f_1(x) = \frac{1}{x}$

hat die senkrechte Asymptote g: x = 0 und die waagerechte Asymptote y = 0.

Asymptoten von 1/x

Die Funktion

$f_2(x) = \frac{x^3-x^2+5}{5x-5} = \frac{1}{5}x^2 + \frac{1}{x-1}$

hat die senkrechte Asymptote g: x = 1 und die schräge Asymptote p(x) = 1/5 · x².

Asymptoten von (x^3-x^2+5)/(5x-5)

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