Mathe Genie Lexikon Areatangens Hyperbolicus Erklärung Bedeutung und Formel

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Areatangens Hyperbolicus

Der Areatangens Hyperbolicus ist eine mathematische Funktion. Er ist die Umkehrfunktion des Tangens Hyperbolicus und damit eine der Areafunktionen.

Geometrisch läßt sich der Areatangens Hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung $(x, y) = (0,0)$ und der Hyperbel $x 2 - y 2 = 1$ überstreicht: Es seien $(x, -y) = (x, -\sqrt{x^2-1})$ und $(x, y) = (x, +\sqrt{x^2-1})$ Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungstrecke die Fläche $A={\rm artanh}(\frac{y}{x})$ überstrichen.

Er lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:

${\rm artanh}(x)=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ .

Seine Taylorreihe lautet:

${\rm artanh}(x)= \sum_{j=0}^\infty \frac{x^{2j+1}}{(2j+1)} =x+\frac13 x^3 + \frac15 x^5+\cdots$

Die Ableitung lautet:

$\frac{d}{dx} {\rm artanh}(x)=\frac{1}{1-x^2}$ .

Die Stammfunktion lautet:

$\int {\rm artanh}(x)\, dx= x\cdot {\rm artanh}(x) +\frac12\ln(1-x^2)$ .

Er ist eine punktsymmetrische Funktion, was die folgenden Formel aussagt:

artanh( - x) = - artanh(x)

.

Ein ebenso gebräuchliches Formelzeichen für den Areatangens Hyperbolicus ist

arth(x)

.

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