Mathe Genie Lexikon Arcus-Cosinus Erklärung Bedeutung und Formel

Arcus-Cosinus

Der Arcus-Cosinus (abgekürzt mit arccos, acos oder cos^-1) ist die Umkehrfunktion des Cosinus.

Er gehört damit zur Klasse der Arcus-Funktionen.

Inhaltsverzeichnis

1 Eigenschaften

2 Definitionsbereich

3 Wertebereich

4 Graph

5 Besondere Werte

6 Beziehungen

7 Literatur

Eigenschaften

Der Funktionswert nimmt im Definitionsbereich streng monoton ab. Damit gehört der Arcus-Cosinus zu den monotonen Funktionen. Er ist eine stetige Funktion. Er ist eine inverse trigonometrische Funktion.

Definitionsbereich

Für $-1 \leq x \leq 1$

Wertebereich

$0 \leq \arccos(x) \leq \pi$

Graph

bild:Arccos.png

Besondere Werte

arccos(-1) = ?
arccos( 0) = ?/2
arccos( 1) = 0

Beziehungen

arccos(x) = ? - arccos(-x)

Zum Arcus-Sinus:

$\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(x)$

Die Ableitung der Arcus-Cosinusfunktion ist:

$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\arcsin'(x)$

Eine Stammfunktion mit einer beliebigen Konstante $C$ ist:

$F(x) = x \cdot \arccos(x) - \sqrt {1-x^2} + C$

Die Taylorreihe der Arcus-Cosinusfunktion ist (aufgrund der Beziehung zur Arcus-Sinusfunktion):

$\arccos(x) := \frac{\pi}{2} - \left( x + \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 + \frac{5}{112} x^7 + \frac{35}{1152} x^9 + \cdots \right)$

Literatur

Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. ISBN 3-87144-492-8

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