Lineare Gleichungssysteme

• Gaußsches Eliminationsverfahren (LR-Zerlegung): Ein klassisches direktes Verfahren, allerdings mit hohem Speicheraufwand, Laufzeit sowie schlechten Stabilitätseigenschaften.
• QR-Zerlegung: Ebenfalls ein direktes Verfahren mit selbem Speicheraufwand, doppelter Laufzeit, aber besseren Stabilitätseigenschaften im Vergleich zum Gauß-Verfahren.
• Splitting-Verfahren: Klassische iterative Verfahren wie das Jacobi-Verfahren oder das Gauß-Seidel-Verfahren.
• Krylow-Unterraum-Verfahren: Moderne iterative Verfahren, die für die große, dünnbesetzte Gleichungssysteme gedacht sind.
• Mehrgitterverfahren: Ein modernes Verfahren mit linearer Komplexität speziell für Gleichungssysteme, die von partiellen Differentialgleichungen herrühren.
• Vorkonditionierung: Eine Technik, die Kondition einer Matrix zu verbessern.
• ILU-Zerlegung: Ein wichtiges Vorkonditionierungsverfahren.

Nichtlineare Gleichungssysteme

• Newton-Verfahren: Ein quadratisch konvergentes Verfahren zum Auffinden von Nullstellen differenzierbarer Funktionen, auch im mehrdimensionalen. In jedem Schritt ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems notwendig.
• Fixpunktverfahren: Ein linear konvergentes Verfahren zum Auffinden von Fixpunkten von Funktionen, auch im mehrdimensionalen.
• Homotopieverfahren: Ein topologisch inspiriertes Verfahren.

Numerische Integration

• Newton-Cotes-Formeln: Einfache Quadraturformeln, die auf Polynominterpolation basieren.
• Gauß-Quadratur: Quadraturformeln mit optimaler Konvergenzordnung.
• Romberg-Extrapolation: Eine Technik zur Verbesserung von Newton-Cotes-Formeln.
• Mittelpunktsregel
• Trapezregel
• Simpsonregel

Approximation und Interpolation

• Polynominterpolation: Interpolation durch Polynome.
• Spline-Interpolation: Interpolation durch stückweise stetige Polynome.
• Remez-Algorithmus: Findet die optimale Approximation bezüglich der Supremumsnorm.
• De-Casteljau-Algorithmus: Der Algorithmus zur Berechnung von Bézier-Kurven.

Ausgleichsprobleme

• QR-Zerlegung: Geeignet für lineare Ausgleichsprobleme (auch Householder-Verfahren).
• Gauß-Newton-Verfahren: Ein iteratives Verfahren zur Lösung nichtlinearer Ausgleichsprobleme.

Optimierung

• Simplex-Verfahren: Ein direktes Verfahren der linearen Programmierung.
• Innerer-Punkt-Verfahren: Ein iteratives Verfahren auch für nichtlineare Optimierungsprobleme.
• Logarithmisches Barriereverfahren: Ebenfalls ein iteratives Verfahren.

Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen

• Eulersches Polygonzugverfahren: Das einfachste Lösungsverfahren, ein 1-stufiges Einschrittverfahren.
• Einschrittverfahren: Verfahren, die nur Informationen des aktuellen Zeitschrittes benutzen, um daraus die nächste Näherung zu berechnen.
• Mehrschrittverfahren: Verfahren, die Informationen der letzten Zeitschritte nutzen.
• Runge-Kutta-Verfahren: Familie von Einschrittverfahren inkl. dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren.

Numerik partieller Differentialgleichungen

• Finite-Elemente-Methode: Ein modernes, flexibles Verfahren zur Lösung vor allem elliptischer partieller Differentialgleichungen.
• Finite-Volumen-Verfahren: Ein modernes Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen.
• Finite-Differenzen-Verfahren: Ein klassisches Verfahren für beliebige partielle Differentialgleichungen.
• Spektralmethode: Ein neuartiges Verfahren, das zur Diskretisierung Polynome sehr hoher Ordnung benutzt.
• Level-Set-Methode: Eine moderne Methode zur Verfolgung von bewegten Rändern.

Berechnung von Eigenwerten

• Potenziteration: Diese erlaubt die Berechnung des größten Eigenwertes.
• QR-Verfahren: Berechnung aller Eigenwerte, allerdings mit hohen Kosten verbunden.
• Lanczos-Verfahren: Berechnung aller Eigenwerte von großen dünnbesetzten Matrizen.

Sonstiges

• Schnelle Fourier-Transformation
• Wavelet-Transformation
• Multipol-Verfahren