In der linearen Algebra nennt man eine Menge S von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig, wenn kein Element von S als Linearkombination endlich vieler anderer Elemente von S darstellbar ist.

Zum Beispiel sind im dreidimensionalen Euklidischen Raum R³ die Vektoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) linear unabhängig, während (2, -1, 1), (1, 0, 1) und (3, -1, 2) nicht linear unabhängig sind (denn der dritte Vektor ist die Summe der ersten beiden). Vektoren, die nicht linear unabhängig sind, nennt man linear abhängig.

Definition

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Seien v₁, v₂, .., v_n Elemente von V. Man sagt, diese Vektoren sind linear abhängig über K, falls Koeffizienten a₁, a₂, .., a_n aus K existieren, die nicht alle gleich 0 sind, so dass:

oder kürzer:

(Beachte, dass die Null auf der rechten Seite das Nullelement des Vektorraums V ist, nicht die Null von K.)

Wenn solche Koeffizienten nicht existieren, dann nennt man die Vektoren v₁, v₂, ..., v_n linear unabhängig

Eine unendliche Menge S von Vektoren heißt linear unabhängig, falls jede endliche Teilmenge von S linear unabhängig ist.

Gleichbedeutend, aber direkt auf lineare Unabhängigkeit bezogen, ist die folgende Definition. Die Vektoren v₁, v₂, ..., v_n sind linear unabhängig, falls gilt:

Sind a₁, a₂, ..., a_n Elemente von K, so dass:

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = 0,

dann ist a_i = 0 für alle i=1,2,...,n.

Das Konzept der linearen Unabhängigkeit ist wichtig, weil eine linear unabhängige Menge von Vektoren, die einen Vektorraum aufspannt, eine Basis dieses Vektorraums ist, durch die sich jedes Element des Raums eindeutig darstellen lässt.

Beispiele

Sind z.B. aus dem englischen Artikel zu übernehmen.

Verallgemeinerung

Der Begriff der linearen Unabhängigkeit lässt sich weiter zu einer Betrachtung von unabhängigen Mengen verallgemeinern, s. Matroid.