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In der Mathematik ist die Lie-Algebra sl(2,C) der Prototyp
einer einfachen Lie-Algebra.
Die sl(2,C) ist eine dreidimensionale komplexe einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist bereits als Lie-Algebra
eindeutig indentifiert.
Bei der Klassifikation der endlichdimensionalen halbeinfachen Lie-Algebra hat sie die Funktion einer Testalgebra. Man sich
(dieser vergleich ist nicht so ganz richtig) jede halbeinfachen Lie-Algebra zusammengesetz aus sl(2,C) denken.
In der Physik ist die sl(2,C) die Lia-Algebra, die die Lorentzgruppe erzeugt. Sie spielt dort
in der speziellen
Relativitätstheorie eine entscheidende Rolle.
Es gibt viele Bezeichnungen und Realisationen der sl(2,C), die im Folgenden beschrieben werden.
| Inhaltsverzeichnis |
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1 Definition durch Kommutator Relationen
2 Als 2x2-Matrizen
3 Kreuzprodukt auf C hoch 3
1 Reelle Formen der sl(2,C)
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Definition durch Kommutator Relationen
Betrachten wir den drei dimensionalen komplexen Vektorraum g, der durch die Basis x,y,z erzeugt wird:
Durch die folgenden Relationen wird auf g eine Lie-Algebra-Struktur definiert:
![[x,y]=h \;\;\;\; [h,x]=2x \;\;\;\; [x,y]=-2y](lexikon/Mathematik-Algebra-Lie-Algebra-sl2C-1.png)
Als 2x2-Matrizen
Betrachten wir alle 2x2-Matrizen deren Spur verschwindet. Setzen wir
so haben wir mit der Kommutatorklammer die Relationen
![[x,y]=h \;\;\;\; [h,x]=2x \;\;\;\; [x,y]=-2y](lexikon/Mathematik-Algebra-Lie-Algebra-sl2C-3.png)
Kreuzprodukt auf C hoch 3
Auf dem  bildet das Kreuzprodukt eine
Lie-Algebra. Setzen wir
so haben wir die obigen Kommutator-Relationen.
Reelle Formen der sl(2,C)
Die Lie-Algebra sl(2,C) hat zwei reelle Formen. Eine reelle Form einer Lie-Algebra ist eine reelle Lie-Algebre, die, wenn man
sie komplexifiziert, die urpruengliche LIe-Algebra ergibt (hier sl(2,C)). Die beiden reellen Formen der sl(2,C) sind die Lie-Algebra su(2) und die
Lie-Algebra
sl(2,R).
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