Mathe Genie Lexikon Leibniz-Kriterium Erklärung Bedeutung und Formel

Leibniz-Kriterium

Das Leibniz-Kriterium (nach Gottfried Wilhelm Leibniz) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergiert.

Sei (a_n) mit n in N eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die unendliche alternierende Reihe

$s = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$

Zum Beweis siehe z. B. diesen Weblink (http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung286/).

Beachte: Es genügt nicht, dass (a_n) nur eine Nullfolge ist, die Monotonie ist notwendig für dieses Kriterium. Betrachte z.B. dieses Gegenbeispiel:

$a_n = \begin{cases} 0 & \mathrm{falls}\ n=0 \\ \frac{2}{n} & \mathrm{falls}\ 0\ne n\ \mathrm{gerade}\\ \frac{4}{(n+1)^2} & \mathrm{falls}\ n\ \mathrm{ungerade} \end{cases}$

Die Reihe S mit diesen Koeffizienten hat als positive Terme die harmonische Reihe, welche divergiert, und als negative Terme die Reihe der reziproken Quadrate, welche konvergiert. Insgesamt ist diese Reihe also divergent.

Das Leibniz-Kriterium liefert eine Abschätzung für den Grenzwert, denn bei derartig alternierenden Reihen liegt der Grenzwert immer zwischen zwei aufeinanderfolgende Partialsummen. Sei s_k die k-te Partialsumme der Folge,

$s_k = \sum_{n=0}^k (-1)^n a_n.$

Dann gilt für alle $l \in \mathbb{N}$ :

$s_{2l-1} \le s \le s_{2l}$ .

Es gibt zudem noch eine Fehlerabschätzung, d.h. eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach N Summanden:

$S-S_N = \sum_{n=N+1}^\infty a_n \le a_{N+1}$ .

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