Mathe Genie Lexikon Laplace-Transformation Erklärung Bedeutung und Formel

Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation (nach Pierre-Simon Laplace) ist eine Integral-Transformation, die eine gegebene Funktion f(t) vom Zeitbereich nach der Vorschrift:

$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \,dt \qquad (\textrm{mit:\quad} s = \sigma + j \omega;\quad t \ge 0 )$

in eine Funktion F(s) im Spektralbereich überführt.

Inhaltsverzeichnis

1 Laplace-Rücktransformation

2 Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen

3 Korrespondenztabelle

4 Wichtige Eigenschaften der Laplace Transformation

4.1 Linearitätssatz
4.2 Verschiebungssatz
4.3 Ähnlichkeitssatz
4.4 Dämpfungssatz
4.5 Multiplikationssatz
4.6 Divisionssatz
4.7 Differentiationssatz
4.8 Integrationssatz
4.9 Faltungssatz
4.10 periodische Funktion
4.11 Grenzwertsätze

Laplace-Rücktransformation

Die Laplace-Rücktransformation ist gegeben durch

$\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) = \frac{1}{2 \pi j} \int^{c+j\infty}_{c-j\infty} F(s) e^{st} \,ds \qquad (\textrm{mit:\quad} c \in \mathbb{R}, c>\max_i\Re(Res_i))$

Da hier über eine komplexe Variable integriert wird, muss die Rücktransformation mit den Methoden der Funktionentheorie gelöst werden. In der Praxis verwendet man häufig Korrespondenztabellen, mit denen diese Aufgabe leichter gelöst werden kann.

Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen

Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres Differentiationssatzes u.a. dazu Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die Differentialgleichung in den Spektralbereich, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück.

Besonderen Wert hat hier die Laplace-Transformation bei Differentialgleichungssystemen: Da Ableitungen im Bildbereich als Produkt aus Originalfunktion und Laplace-Faktor s entstehen, werden DGLSys zu einfacheren algebraischen ("normalen") Gleichungssystemen.

Bei zeitdiskreten Systemen führt die Laplace-Transformation zur Z-Transformation.

Korrespondenztabelle

Originalfunktion f(t)	Bildfunktion F(s)
$?(t)$	1
$1$	$\frac{1}{s}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$
$e - a t$	$\frac{1}{s+a}$
$t e - a t$	$\frac{1}{(s+a)^2}$
$sin(? t)$	$\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$
$cos(? t)$	$\frac{s}{s^2 + \omega^2}$
$sinh(? t)$	$\frac{\omega}{s^2 - \omega^2}$
$cosh(? t)$	$\frac{s}{s^2 - \omega^2}$
$f(t)\cdot\sin(at)$	$\frac{1}{2i} \cdot (F(s-ia) - F(s+ia))$
$f(t)\cdot\cos(at)$	$\frac{1}{2} \cdot (F(s-ia) - F(s+ia))$
$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \cdot e^{\pm at}$	$(p \mp a)^{-n}$
$\frac{1}{T} \cdot e^{-t/T}$	$\frac{1}{1+Ts}$
$\frac{e^{-t/T_1}-e^{-t/T_2}}{T_1-T_2}$	$\frac{1}{(1+T_1s)(1+T_2s)}$
$\frac{1}{\omega} e^{-\delta t} \sin( \omega t )$	$\frac{1}{s^2+2\delta s + (\delta^2+\omega^2)}$

Wichtige Eigenschaften der Laplace Transformation

Linearitätssatz

$\mathcal{L}\{a_1 f_1(t)\ + a_2 f_2(t)\} = a_1 \mathcal{L}\{f_1(t)\} + a_2 \mathcal{L}\{f_2(t)\}$

Verschiebungssatz

1) Verschiebung nach rechts

$\mathcal{L}\{f(t-a)\} = \mathrm{e}^{-as} \mathcal{L}\{f(t)\} = \mathrm{e}^{-as}F(s) \qquad (t \ge a > 0)$

2) Verschiebung nach links

$\mathcal{L}\{f(t+a)\} = \mathrm{e}^{as} \left(F(s)-\int_0^af(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t \right) \qquad (t \ge a > 0)$

Ähnlichkeitssatz

$\mathcal{L}\{f(at)\} = \frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right) \qquad (a > 0)$

Dämpfungssatz

$\mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-at}f(t)\} = F(s + a) \qquad (a \in \mathbb{C})$

Multiplikationssatz

$\mathcal{L}\{t^n \dot f(t)\} = (-1)^n F^{(n)}(s) \qquad (n = 1, 2, \dots)$

Divisionssatz

$\mathcal{L}\left\{ \frac{1}{t} f(t) \right\} = \int_s^\infty F(q) \mathrm{d}q$

Differentiationssatz

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(+0)$

$\begin{matrix} \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} &=& s^n F(s) - s^{n-1} f(+0) - s^{n-2} f'(+0) - \dots - f^{(n-1)}(+0) \\ &=& s^n F(s) - \sum_{v=1}^n s^{n-v}f^{(v-1)}(+0) \end{matrix}$

Integrationssatz

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(q)\mathrm{d}q \right\} = \frac{1}{s} F(s)$

Faltungssatz

$\mathcal{L}\{ f_1(t) * f_2(t) \} = F_1(s) \cdot F_2(s)= \mathcal{L}\{\int_0^t f_1(u)f_2(t-u)\}\mathrm{d}u$

$\mathcal{L}\{ f_1(t) \cdot f_2(t) \} = \frac{1}{2 \pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F_1(\sigma)F_2(s-\sigma)\mathrm{d}\sigma$

periodische Funktion

$\mathcal{L}\{ p(t) \} = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int_0^T p(\tau)\cdot e^{-s\tau} d\tau$

wobei T die Periode der Funktion p(t) darstellt.

Grenzwertsätze

$\lim_{s \to 0} F(s) = \mathcal{L}\{ \int_0^\infty f(t) dt \}$

$\lim_{s \to 0} s \cdot F(s) = \mathcal{L}\{ \lim_{t \to \infty} f(t) dt \}$

Siehe auch: Fourier-Transformation, Faltung

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