Mathe Genie Lexikon Lagrange-Formalismus Erklärung Bedeutung und Formel

Lagrange-Formalismus

Der Lagrange-Formalismus ist eine 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik. Die Trajektorie eines Objektes wird im Lagrange-Formalismus bestimmt, indem der Pfad mit einer stationären Wirkung berechnet wird (Hamiltonsches Prinzip), d. h. der Pfad, für den das Integral der Lagrangefunktion L über die Zeit stationär ist.

Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, denn im Gegensatz zur Newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze lassen sich im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch Wahl geeigneter Koordinaten q_i (generalisierte Koordinaten) berücksichtigen.

Lagrangesche Bewegungsgleichungen

Mit Hilfe der Variationsrechnung folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip die Bewegungsgleichungen des Lagrange-Formalismus, die (Euler-)Lagrange-Gleichungen:

${\partial{L}\over \partial q_i} = {d\over dt}{\partial{L}\over \partial{\dot{q}_i}}$

Für jede generalisierte Koordinate q_i (und die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit $\dot{q}_i$ ) gibt es eine solche Gleichung. Die Lagrange-Gleichungen bilden ein System partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Die Lagrange-Funktion L ergibt sich dabei zu L=T-V, wobei T die kinetische Energie und V die potenzielle Energie aller Massenpunkte des Systems ist.

Richard Feynman (zusammen mit Albert Hibbs) hat, im Gegensatz zu vielen anderen Physikern, diese Herangehensweise auch für die Herleitung der Gleichungen der Quantenmechanik verwendet. In der klassischen Physik ergeben sich die oben beschriebenen Lagrange-Gleichungen aus der Forderung, dass das Wirkungsintegral (bei dem über die Lagrange Funktion integriert wird) stationär wird (durch die Variation des Integrals erhält man die Differenzialgleichungen). Feynman hat einen mathematischen Formalismus entwickelt, in dem der Betrag des Wirkungsintegrals als Maß für die Wahrscheinlichkeit eingeht, dass ein System einen bestimmten zeitlichen Verlauf erfährt (Pfadintegral). Hieraus ergibt sich dann (in einer mathematisch anspruchsvollen Herleitung) z. B. die Schrödingergleichung. In dieser Theorie bilden klassische Systeme den Grenzfall, bei dem außer der Systemtrajektorie, die sich aus der Lagrange-Gleichung ergibt, alle anderen Trajektorien eine verschwindend geringe Wahrscheinlichkeit haben.

Beispiel

Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt $T=m\dot{x}^2/2$ und $V = D x 2 / 2$ . Mit x als generalisierter Koordinate folgt die Bewegungsgleichung direkt aus der Euler-Lagrange-Gleichung:

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{D}{2}x^2$
$\Rightarrow\ \ \ -D x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m\dot{x}\right)$
$\Rightarrow\ \ \ \ddot{x} = -\frac{D}{m} x$

Eine Lösung dieser Gleichung ist $x(t)=c\cdot\cos(\omega t)$ , mit $\omega=\sqrt{D/m}$ und $c = c o n s t .$ .

Siehe auch: Hamilton-Formalismus

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