Mathe Genie Lexikon Analytische Funktion Erklärung Bedeutung und Formel

Analytische Funktion

Als analytisch bezeichnet man in der Mathematik eine Funktion, die lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist.

In der Funktionentheorie wird gezeigt, dass eine Funktion f einer komplexen Variablen, die einer offenen Kreisscheibe D diffenzierbar ist, in der gleichen offenen Umgebung D unendlich oft differenzierbar ist, und dass die Potenzreihe um den Mittelpunkt c der Kreisscheibe,

$\sum_{n=0}^\infty {f^{(n)}(c) \over n!} (z-c)^n$ ,

für jeden Punkt z aus D gegen f(z) konvergiert. Dies ist ein wichtiger Aspekt, unter dem Funktionen in der komplexen Ebene einfacher zu handhaben sind als Funktionen einer reellen Variablen. Tatsächlich benutzt man in der Funktionentheorie die Attribute analytisch und holomorph und oft auch regulär synonym.

Dagegen gibt es in der reellen Analysis unendlich oft differenzierbare Funktionen, die nicht analytisch sind. Als Beispiel diene die Funktion

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\exp(-1/x^2) & \mbox{if}\ x\neq 0 \\ \\ 0 & \mbox{if}\ x=0 \end{matrix}\right\},$

die für alle x aus R, auch im Punkt 0, beliebig oft differenzierbar ist. Aus f⁽ⁿ⁾(0) = 0 für alle n folgt die Taylor-Reihe von f

$\sum_{n=0}^\infty {0\over n!}x^n = 0,$

die, außer im Punkt x = 0, nicht mit f(x) übereinstimmt. Somit ist f im Punkt 0 nicht analytisch.

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