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In der abstrakten Algebra tritt der Begriff der
Verzweigung (engl. ramification) bei der Betrachtung von Erweiterungen bewerteter Körper auf.
Verzweigte Erweiterungen von Qp
Wir betrachten zunächst den Fall, dass der Grundkörper ein Qp mit einer Primzahl p ist
(siehe p-adische Zahlen).
Sei |·| die p-adische Bewertung auf Qp, eindeutig bestimmt durch |p| = 1/p.
Die Teilmenge Zp von Qp, definiert durch
ist ein Ring und heißt Ring der p-adischen ganzen
Zahlen. Allgemein nennt man ihn den Ganzheitsring o des Körpers (engl. ring of
integers).
Die Einheiten in Zp
(bzw. o) sind die Elemente x mit |x| = 1.
In Zp gibt es (bis auf Einheiten) nur ein Primelement, p. Das von p erzeugte Hauptideal ist
Allgemein ist p = {x in K: |x|<1} ein Primideal des Ringes
o.
Der Faktorring
ist ein Körper, der isomorph zum p-elementigen endlichen Körper Fp ist. Man nennt ihn den
Restklassenkörper ? des Körpers (engl. residue class field).
Sei nun L/Qp eine endliche algebraische Erweiterung mit einer Bewertung ||·|| auf L, die |·| fortsetzt.
Auch für L kann man entsprechend einen Ganzheitsring O, ein Primideal P und einen
Restklassenkörper ? definieren.
Die Wertemenge
- g := {|x| : x in Qp} = {pk : k in
Z}
der Bewertung |·| auf Qp ist eine Untergruppe
der multiplikativen Gruppe Q*, man nennt sie die Bewertungsgruppe von
Qp. Die Bewertungsgruppe G von L ist eine Untergruppe von
Q*, die g als Untergruppe enthält.
Bezeichnet n den Erweiterungsgrad [L:Qp], dann definiert man den
Verzweigungsgrad (engl. ramification index) als Index der Bewertungsgruppen
- e := [G:g]
und den Restklassenkörper-Erweiterungsgrad
- f := [?:?]
Man kann zeigen, dass n = e·f gilt.
Ist e = 1, dann nennt man die Erweiterung L/Qp unverzweigt
(engl. unramified), sonst verzweigt (engl. ramified). Ist e = n, also
f = 1, dann nennt man die Erweiterung rein verzweigt (engl. completely ramified).
Bei einer unverzweigten Erweiterung bleibt also die Wertegruppe
Beispiele
(Hier kommen als Beispiel alle quadratischen Erweiterungen von Q2. Es gibt 7 verschiedene, von
denen genau eine, Q2(?5), unverzweigt ist.)
Erweiterungen lokaler Körper
(Erstmal sollte der Begriff lokaler Körper definiert und erklärt werden.)
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