Mathe Genie Lexikon Vektor (Mathematik) Erklärung Bedeutung und Formel

Vektor (Mathematik)

Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.

In der Geometrie ist ein Vektor eine Klasse von Pfeilen gleicher Länge (Betrag) und gleicher Richtung.

Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Figur an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um 7 Einheiten nach rechts und 3 nach oben verschoben werden. Er bewegt sich dabei längs eines Pfeils $\vec v$ . Da diese Pfeile in Länge und Richtung alle übereinstimmen, fasst man sie zu einer Klasse (Vektorklasse) zusammen, die man ebenfalls kurz mit $\vec v$ bezeichnet. Jeder Pfeil ist ein Repräsentant dieser Klasse. Man beschreibt die Klasse durch die Verschiebung, die ihre Pfeile bewirken, im Beispiel:

$\vec v = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$ ,

im dreidimensionalen Raum entsprechend mit 3 Koordinaten, siehe weiter unten.

Allgemeiner ist in der linearen Algebra ein Vektor als Element eines Vektorraumes definiert. Dies ist eine viel umfassendere Definition, die neben den "herkömmlichen", geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (Zahlen, Folgen, Funktionen und Transformationen) beinhaltet. Demnach ist auch jeder Tensor ein Vektor, obwohl man per Konvention zweidimensionale Vektoren als Matrix und mehrdimensionale Vektoren als Tensoren bezeichnet.

In der Differentialgeometrie, der Physik und der Technik bezieht sich der Ausdruck Vektor normalerweise auf einen geometrischen Vektor des euklidischen Raumes, der durch einen Betrag und eine Richtung geben ist. Beispiele sind Geschwindigkeit, Impuls, Kraft, Moment und Beschleunigung. Nach dieser Definition ist ein Vektor ein Tensor erster Stufe. Alle folgenden Betrachtungen beziehen sich auf solche Vektoren, allgemeine Eigenschaften finden sich unter Vektorraum

Vektoren kann man skalare Größen wie Abstand, Energie, Zeit, Temperatur, Ladung, Leistung, Arbeit und Masse gegenüberstellen, die zwar einen Betrag, aber keine Richtung haben.

Vektoren sind nomalerweise ungebunden, das heißt, sie haben keinen fixen Ausgangspunkt. Ein Vektor kann daher als die Menge aller "Pfeile", die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, angesehen werden.

Im Unterschied dazu haben gebundene Vektoren einen Ausgangspunkt. Sie können zum Beispiel, als so genannte Ortsvektoren, die Position eines Punktes im Raum angeben. Kräfte, die auf Starrkörper wirken, sind teilweise gebunden. Sie wirken entlang einer bestimmten Geraden. Es ist egal, an welchem Punkt der Geraden sie angreifen. Man nennt sie "linienflüchtige" Vektoren.

Ein Vektor mit der Länge 1 heißt Einheitsvektor.

Inhaltsverzeichnis

1 Darstellungsformen

2 Rechenoperationen

2.1 Winkel zwischen zwei Vektoren
2.2 Addition und Subtraktion
2.3 Multiplikation mit einem Skalar
2.4 Skalarprodukt
2.5 Kreuzprodukt

Darstellungsformen

Variablen, die für Vektoren stehen, werden normalerweise mit einem Pfeil gekennzeichnet ( $\vec{a}$ ) oder fett geschrieben (a). (Anmerkung: In diesem Artikel wird durchgängig die Pfeilschreibweise verwendet, in anderen Wikipedia-Artikeln kommt aber auch der Fettdruck vor.) Ist der Betrag, also die Länge, des Vektors gemeint, wird der Vektor mit zwei senkrechten Betragsstrichen eingeklammert: $|\vec{a}|$

Grafisch werden Vektoren normalerweise als Pfeile dargestellt:

A wird in diesem Fall als Schaft, Ausgangs- oder Startpunkt und B als Spitze oder Endpunkt des Vektors bezeichnet. Die Richtung des Pfeiles gibt die Richtung des Vektors an und die Länge seinen Betrag. Dieser Vektor kann auch als $\overrightarrow{AB}$ bezeichnet werden und sein Betrag als $|\overrightarrow{AB}|$ bzw. $\overline{AB}$ . Dabei ist zu beachten, dass der Vektor nicht an die Punkte A und B gebunden ist, sondern, dass diese ihn nur definieren.

Um mit Vektoren sinnvoll rechnen zu können, ist die grafische Notation natürlich unpraktisch. In einem n-dimensionalem Euklidischen Raum können Vektoren als Linearkombination von n Basisvektoren dieses Raumes dargestellt werden. Im kartesischen Koordinatensystem nimmt man dafür n paarweise aufeinander normal stehende Einheitsvektoren.

Als Beispiel für diesen Artikel soll immer der dreidimensionale Vektorraum R³ mit einem kartesischen Koordinatensystem dienen. Sind $\vec{i}$ , $\vec{j}$ und $\vec{k}$ die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- bzw. z-Achse, kann jeder Vektor als

$\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}$

angeschrieben werden. Die reellen Zahlen a₁, a₂ und a₃ sind eindeutig durch $\vec{a}$ festgelegt. Oft schreibt man Vektoren auch kurz als 3x1- oder 1x3-Matrix:

$\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\quad\mbox{ oder }\quad \vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 \\\end{pmatrix}$

Mit dieser Schreibweise ist zwar die Wahl des Koordinatensystems nicht festgehalten, falls nicht anderes angegeben ist aber immer das kartesische Koordinatensystem gemeint, da es für viele Rechnungen am einfachsten ist.

Man kann dann die Koordinaten eines Vektor auch so darstellen:

$\vec{a} = a_1\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\\end{pmatrix} + a_2\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\\end{pmatrix} + a_3\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\\end{pmatrix}$

Aus dem Satz von Pythagoras folgt, dass der Betrag des Vektors folgendermaßen berechnet werden kann:

$|\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}$

Rechenoperationen

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der Winkel $\varphi$ zwischen zwei Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$ kann mit folgender Formel berechnet werden:

Addition und Subtraktion

Die Summe der beiden Vektoren

$\vec a= a_1\vec i + a_2\vec j + a_3\vec k\ \mathrm{und}\ \vec b = b_1\vec i + b_2\vec j + b_3\vec k$

berechnet sich als:

$\vec{a}+\vec{b} = (a_1+b_1)\vec{i} + (a_2+b_2)\vec{j} + (a_3+b_3)\vec{k} = \begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3\end{pmatrix}.$

Die Vektoraddition kann man graphisch interpretieren indem man den Schaft des zweiten Vektors an die Spitze des ersten Vektors anschließt. Der Pfeil vom Schaft des ersten Vektors bis zur Spitze des zweiten Vektors repräsentiert den Ergebnisvektor:

Die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ können hier als Seiten eines Parallelogramms aufgefasst werden und der Ergebnisvektor als die (längere) Diagonale. Für die Addition von Vektoren gilt das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz.

Die Differenz dieser beiden Vektoren ist:

$\vec{a}-\vec{b} = (a_1-b_1)\vec{i} + (a_2-b_2)\vec{j} + (a_3-b_3)\vec{k} = \begin{pmatrix}a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3\end{pmatrix}.$

Die geometrische Interpretation der Subtraktion von zwei Vektoren ist: Zwei Vektoren werden subtrahiert, indem man den Schaft des zweiten Vektors an den Schaft des ersten Vektors anschließt. Der Pfeil des Ergebnisvektors beginnt in der Spitze des zweiten Vektors und endet in der Spitze des ersten Vektors. Alternativ kann man auch die zwei Spitzen zusammenschließen und die Schäfte verbinden.

Die Subtraktion kann auch als Addition des entgegengesetzt orientierten Vektors aufgefasst werden.

Multiplikation mit einem Skalar

Vektoren können mit reellen Zahlen, oft Skalare genannt, um sie von Vektoren unterscheiden zu können, multipliziert werden:

$r\vec{a} = (ra_1)\vec{i} + (ra_2)\vec{j} + (ra_3)\vec{k} = \begin{pmatrix}ra_1 \\ ra_2 \\ ra_3\end{pmatrix}$

Die Länge des resultierenden Vektors ist daher $|r|\cdot|\vec{a}|$ . Wenn der Skalar negativ ist, ändert sich zusätzlich die Richtung um 180°. Die folgende Grafik illustriert zwei Beispiele (Multiplikation mit -1 und 2):

Für die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar gilt das Distributivgesetz:

$r\cdot(\vec a + \vec b) = r\vec a + r\vec b$

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (oder Inneres Produkt) zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ , so genannt weil das Ergebnis ein Skalar ist, wird notiert als $\vec a\cdot\vec b$ und ist definiert als

$\vec{a}\cdot\vec{b} =\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos(\theta),$

wobei ? der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist. (siehe auch Cosinus). Im Kartesischen Koordinatensystem berechnet es sich als

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

Geometrisch bedeutet das Skalarprodukt eine Multiplikation der Länge des ersten Vektors mit der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten Vektor. Daher ist das Skalarprodukt zweier normal aufeinander stehender Vektoren immer 0. Diese Operation wird oft in der Physik gebraucht, zum Beispiel um die Arbeit zu berechnen, wenn Kraft und Weg nicht in der selben Richtung verlaufen.

Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt, äußeres Produkt oder Vektorprodukt) (notiert als $\vec a\times\vec b$ ) zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) auf der von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Ebene steht.

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R³ ist das Kreuzprodukt von a und b definiert als

$\vec{a}\times\vec{b} = \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \sin(\theta) \vec{n}$

wobei ? der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel (siehe auch Sinus), und $\vec n$ der zu beiden Vektoren normale Einheitsvektor ist.

Diese Definition hat allerdings das Problem, dass es zwei Vektoren gibt, die normal auf $\vec a$ und $\vec b$ stehen. Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes "Rechts-System"), d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ und $\vec{a}\times\vec{b}$ verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt).

Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als:

Im Kartesischen Koordinatensystem kann das Kreuzprodukt berechnet werden als:

$\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$

Der Betrag von $\vec a\times\vec b$ entspricht der Fläche des von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms.

Für das Kreuzprodukt gilt nicht das Kommutativgesetz sondern das sogenannte Anti-Kommutativgesetz:

$\vec{a}\times\vec{b} = - \vec{b}\times\vec{a}$

Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpfen, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen senkrecht steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt. Siehe dazu: Kreuzprodukt.

Siehe auch: Analytische Geometrie, Spatprodukt, Vektorgrafik

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