Varianz

Die Varianz ist in der Statistik ein Streuungsmaß, d.h. ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariable $X$ von ihrem Erwartungswert $E [X]$ . Ihr Nachteil ist, dass sie eine andere Einheit als die Daten besitzt. Man verwendet daher oft auch die Standardabweichung, die als Quadratwurzel aus der Varianz definiert ist. Als Bezeichnung für die Varianz wird meist der Ausdruck $V[\ldots]$ oder $Var[\ldots]$ verwendet.

Siehe auch: Varianzanalyse

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Rechenregeln

2.1 Verschiebesatz
2.2 Lineare Transformation
2.3 Summe von Varianzen

3 Beispiele

4 Verweise

5 weblinks

Definition

Definiert ist die Varianz als Durchschnitt der Abweichungsquadrate vom Durchschnitt eines statistischen Merkmals.

Man unterscheidet zunächst:

Varianz einer Zufallsvariablen.

Das ist die durchschnittliche quadratische Abweichung der Ausprägungen vom Durchschnitt in der Grundgesamtheit.

Stichprobenvarianz.

Das ist die Varianz von Beobachtungswerten, die als Stichprobe einer Grundgesamtheit entstammen. Diese Varianz wird in der deskriptiven Statistik als Maß für die Streubreite von Daten verwendet. Als inferentielle Varianz dient sie zur Schätzung der unbekannten Varianz in der Grundgesamtheit.

Für die Grundgesamtheit errechnet sich die Varianz V(X) einer diskreten Zufallsvariablen als

V(X) =	?	(x_i - E[X])²p_i,
	i

wenn X die Werte x₁, x₂, ... mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p₁, p₂, ... annehmen kann.

Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist die Varianz über das Integral bestimmt. Hat die Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x), so ist die Varianz

$V(X)=\int_{-\infty}^\infty (x-E[X])^2 f(x)dx.$

Man bezeichnet sie auch als zweites zentrales Moment.

Die Stichprobenvarianz ist unter Standardabweichung oder Schätzen und Testen näher erläutert.

Rechenregeln

Verschiebesatz

V [X] = E [(X - E [X]) 2] = E [X 2] - (E [X]) 2

Lineare Transformation

V [k x + d] = k 2 V [x]

Summe von Varianzen

$V[\sum_{i=1}^na_iX_i]=\sum_{i=1}^na_i^2V[X_i]+2\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^ma_ia_jCOV[X_i,X_j]$

Beispiele

Die Varianz beim 500-maligem Würfeln und der Zufallsgröße X: Anzahl der Einsen $500 \cdot {1 \over 6} \cdot {5 \over 6}$

Verweise

Siehe auch: Kovarianz, Parameter (Statistik), Moment (Statistik)

weblinks

http://mathworld.wolfram.com/Variance.html

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