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Der Doppeleintrag befindet sich unter: Kreis
(Geometrie) --DaTroll 16:07, 22. Sep 2004 (CEST)
Die Kreisfläche ist in der Mathematik die vom Kreisumfang umschlossene Fläche. Sie ist
gleichzeitig die Fläche, die von einer Strecke überstrichen wird, die um eine zu ihr
senkrecht stehende Drehachse rotiert. Als Kreis wird dagegen im Allgemeinen die Kreislinie bezeichnet (d.h. der Rand der Kreisfläche).
| Inhaltsverzeichnis |
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1 Kreisflächenberechnung
2 Quadratur
3 Flächenmessung
4 Flächenverdoppelung
5 Weblink
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Kreisflächenberechnung
Die Kreisfläche A (area) steht in einem quadratischen Zusammenhang zum Radius r bzw. zum Durchmesser
d des Kreises:
oder
Quadratur
Bereits in der Antike suchte man nach einem Quadrat
mit ganzzahliger Kantenlänge, das den gleichen Flächeninhalt wie ein Kreis mit ganzzahligem Radius hat. Diese Quadratur des Kreises [1] (http://www.pimath.de/quadratur/verzeichnis.html) gilt heute als Sinnbild für eine unlösbare
Aufgabe.
Flächenmessung
Die Fläche eines Kreises lässt sich annähernd bestimmen, indem man ihm kleine Quadrate unterlegt. Zählt man
alle Quadrate, die vom Kreis vollständig bedeckt werden, so erhält man einen etwas zu niedrigen Wert für die Fläche, zählt man
auch alle Quadrate mit, die der Kreis lediglich schneidet, so ist der Wert zu groß. Der Mittelwert beider Ergebnisse nähert die
wahre Fläche recht gut an.
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Eine andere Möglichkeit zur Kreisflächenbestimmung ist, in den Kreis ein gleichseitiges Sechseck einzuzeichnen, dessen Ecken
den Kreis eben berühren. Werden nun die Seitenmitten vom Mittelpunkt aus auf den Kreis
projiziert und diese neuen Punkte mit den alten Ecken verbunden, so entsteht ein regelmäßiges Zwölfeck. Wird dieser Vorgang
wiederholt, entstehen nacheinander ein 24-Eck, ein 48-Eck und so fort. Deren Flächen lassen sich durch Dreiecksflächenberechnung exakt bestimmen. Der Grenzwert der Folge dieser Flächen
ist die Kreisfläche.
Ähnlich kann man mit einem Sechseck verfahren, das von außen an den Kreis
gezeichnet ist, dessen Seitenmitten ihn also berühren. Schließlich gibt der Mittelwert aus den Flächen des äußeren und des
inneren Sechsecks (Zwölfecks,...) wieder eine gute Näherung.
Das arithmetische Mittel der Ergebnisse der beiden
letztgenannten Methoden ist wiederum eine sehr genaue Möglichkeit der Annäherung an den exakten Wert der Kreisfläche.
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Flächenverdoppelung
Die Fläche eines Kreises lässt sich geometrisch verdoppeln, indem ein Quadrat gezeichnet wird, dessen eine Ecke im
Kreismittelpunkt liegt und das zwei weitere Ecken auf dem Kreisbogen hat. Durch die vierte Ecke wird ein Kreis um den alten
Mittelpunkt gezogen. Dieses Verfahren wurde im 13. Jahrhundert im
Bauhüttenbuch des Villard de Honnecourt dargestellt.
Weblink
- Berechnungen 'Rund um den Kreis' (http://www.sengpielaudio.com/Rechner-kreis.htm)
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