Mithilfe eines Koordinatensystems lassen sich die Positionen von Punkten im Raum angeben. Die Position im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch Angabe von Zahlenwerten, Koordinaten genannt, eindeutig bestimmt. Mittels einzelner Punkte lassen sich dann durch mehrere Punkte bestimmte Objekte (Linien, Abstände, Flächen, Körper) angeben.

Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte entspricht der Dimension des Raumes (oft als n abgekürzt). Man fasst die Koordinaten eines n-dimensionalen Raumes dann auch als ein n-Tupel von Koordinaten auf.

Der Punkt, bei dem alle Koordinaten den Wert 0 annehmen, nennt man den Koordinatenursprung.

Unterschiedliche Koordinatensysteme

Die Positionen desselben Punktes im Raum kann in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. In den unterschiedlichen Darstellungen wird diese durch unterschiedliche Koordinaten repräsentiert. Bei Systemen, die eine Symmetrie aufweisen kann man durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen, dass einzelne Koordinaten konstant bleiben. Z.B. genügt zur Festlegung einer Position auf der Erdoberfläche, wenn es auf die Höhe über NN nicht ankommt, die Angabe von lediglich zwei Koordinaten (Längengrad und Breitengrad), da der Erdradius konstant ist. In solchen Fällen bieten sich die Verwendung sphärischer Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) an. Die Beschreibung von Punkten auf einer Ebene im Raum erfolgt hingegen in kartesischen Koordinaten, wobei eine der n Koordinaten den konstanten Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung bezeichnet.

Transformationen zwischen Koordinatensystemen

Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt durch Koordinatentransformation. Die unterschiedlichen Zahlenwerte der n-Tupel beschreiben dieselbe Position im Raum. Beim Übergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung von Größen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.

Koordinatenursprung

Der Koordinatenursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an welchem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird deshalb häufig auch als Nullpunkt bezeichnet.

Spezielle Koordinatensysteme

Der uns umgebende und in Mathematik und Physik benutzte Raum ist der dreidimensionale euklidische Raum. Oft kann eine Raumdimension vernachlässigt werde, so dass nur ein zweidimensionaler Raum zu betrachten ist. Unter Einbeziehung der Zeit entsteht der vierdimensionale Minkowskiraum der Relativitätstheorie.

Diese Räume lassen sich durch Kartesische Koordinaten beschreiben, das sind affine (geradlinige) Koordinaten, in der die Koordinaten entlang senkrecht aufeinander stehender Achsen gemessen werden.

Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten werden der Abstand von einem festgelegten Koordinatenursprung und Winkel zu gegebenen Achsen als Koordinaten verwendet. Auch hier stehen sie Koordinatenachsen senkrecht aufeinander, aber sie sind krummlinig.

Andere Koordinatensysteme werden in Bezug auf geometrische Objekte (Zylinder, Kegelschnitt) definiert: Zylinderkoordinaten, Hyperbolische Koordinaten.

Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodäsie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:

• Geographisches Koordinatensystem
• Soldner Koordinatensystem
• Gauß-Krüger-Koordinatensystem
• UTM-Koordinatensystem
• Astronomische Koordinatensysteme wie das ekliptikale oder galaktische
• bewegte Koordinatensysteme
• rotierende Koordinatensysteme

Mathematische Betrachtungen

In einem (endlichdimensionalen) Vektorraum ist durch eine Basis automatisch ein Koordinatensystem gegeben. Die Koeffizienten der Basisvektoren lassen sich als Koordinaten verstehen. Der Transformation zwischen zwei Basissystemen entspricht eine Transformation zwischen den entsprechenden Koordinatensystemen.

Da eine Transformation von einer Basis zu einer anderen eine lineare Abbildung ist, die etwa durch eine Matrix dargestellt werden kann, sind auch die entsprechenden Transformationen der Koordinatensysteme linear.

Weblinks

• http://www.mathe-online.at/mathint/zeich/i.html - Einfache und verständliche Erklärung (hpts. durch Abbildungen)
• http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/lexikon/K/koordinatensystem.html - Mathematisch exakte Definitionen (mit Formeln)