Eine geometrische Figur oder eine Teilmenge eines reellen Vektorraums heißt konvexe Menge, wenn für je zwei darin enthaltene Punkte auch alle Punkte der Verbindungsstrecke dazu gehören. Eine nichtkonvexe Menge heißt konkav.

Die Verbindungsstrecke [a, b] zwischen zwei Punkten a, b ist die Menge aller Konvexkombinationen von a und b, d.h. die Menge aller Linearkombinationen ?a + ?b, für die 0 ? ?, ? ? 1 und ?+?=1 gilt. Formal kann man sie so definieren:

[a, b] := {? a + (1-?) b | 0 ? ? ? 1}

Diese Menge ist genau das, was man anschaulich unter der "Strecke von a nach b" versteht.

Beispiele

Die meisten in der Schule behandelten geometrischen Figuren sind konvex, z.B. Kreise, Trapeze (insbesondere Rechtecke) und Dreiecke - jeweils als Voll-Figuren aufgefasst, der Rand selbst ist hier jedesmal konkav.

Nicht konvex (also konkav) sind dagegen z.B. der Viertelmond, der Buchstabe T, ein Kreisring oder eine Figur, die aus zwei nebeneinanderliegenden Kreisen besteht (Abbildungen siehe konkave Menge).

Im dreidimensionalen Raum sind z.B. Kugeln, Würfel und Spate konvex, ein Torus (Fahrradschlauch) ist dagegen konkav.

Eigenschaften

Der Schnitt von beliebig vielen konvexen Mengen ist wieder konvex. So bilden die konvexen Teilmengen eines Vektorraumes ein Hüllensystem.

Im Allgemeinen ist die Vereinigung von konvexen Mengen nicht konvex.