In der Analysis heißt eine Funktion f von einem Intervall I (oder einer konvexen Teilmenge I eines Vektorraums) nach R konkav, wenn für alle x,y aus I gilt:

Anschaulich bedeutet die Definition: Der Funktionswert in der Mitte zwischen zwei Werten x,y liegt oberhalb der Mitte der Verbindungsgerade der beiden Funktionswerte an x und y.

Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass für alle x, y aus I und t zwischen 0 und 1 gilt:

Eine Funktion heißt streng konkav, wenn für alle x,y aus I gilt:

Eigenschaften

Der Graph einer konkaven Funktion ist so gewölbt, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen eine konvexe Menge ist. Zu beachten ist, dass eine nicht-konvexe Funktion nicht automatisch konkav sein muss, d.h. konvex und konkav sind hier nicht das exakte Gegenteil voneinander. Jede lineare Funktion ist sowohl konkav als auch konvex, und die Sinusfunktion ist keins von beiden (weder die Menge der Punkte oberhalb des Graphen noch die der Punkte unterhalb des Graphen ist eine konvexe Menge).

Eine Funktion f ist genau dann konkav, wenn die Funktion -f konvex ist.

Ist f differenzierbar, dann ist f genau dann konkav, wenn ihre Ableitung f' fallend ist, und genau dann streng konkav, wenn f' streng monoton fallend ist.

Ist f zweimal differenzierbar, dann ist f genau dann konkav, wenn f'' nichtpositiv ist, und genau dann streng konkav, wenn f'' negativ ist.

Beispiele

• Die Funktion f(x) = -x² ist auf ganz R streng konkav, denn f '(x) = -2x ist steng monoton fallend.
• Die Wurzelfunktion f(x) = ?x ist streng konkav auf dem Intervall [0, ?) der nichtnegativen reellen Zahlen.
• Die Logarithmusfunktion ist streng konkav auf dem Intervall (0, ?).
• Die negative Betragsfunktion f(x) = -|x| ist auf ganz R konkav, aber nicht streng konkav.
• Die Funktion f(x) = x³ ist konkav für x ? 0 und konvex für x ? 0.

Siehe auch: Konvexe Funktion