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Kongruenzrelation

Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.

In der Mathematik ist eine Kongruenzrelation eine Äquivalenzrelation, die mit bestimmten algebraischen Operationen verträglich ist.

Ein typisches Beispiel ist die Modulo-Arithmetik:

Wenn a1 = a2 (mod n) und b1 = b2 (mod n), dann gilt a1 + b1 = a2 + b2 (mod n) und a1b1 = a2b2 (mod n).

Die Äquivalenzrelation \sim auf einer Algebra \langle G, * \rangle heißt genau dann Kongruenzrelation der Algebra \langle G, * \rangle, wenn die Bedingung a \sim b, c \sim d \Rightarrow a*c \sim b * d gilt.

Jede Algebra besitzt "triviale" Kongruenzrelationen, nämlich die Allrelation (alle Elemente liegen in derselben Klasse) und die identische Kongruenzrelation (jedes Element bildet für sich eine Klasse). Besitzt eine Algebra keine weiteren Kongruenzrelationen heißt die Algebra "einfach". Beispiele für einfache Algebren sind etwa die Ringe \mathbb{Z}_2 , \mathbb{Z}_3 , \mathbb{Z}_4 , \mathbb{Z}_5.

Siehe Kongruenz (Zahlentheorie)
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