Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve. Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte. Die Koch-Kurve ist eins der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal und wurde bei der Entdeckung als Monsterkurve bezeichnet. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht.

Konstruktion

Man kann die Kurve anschaulich mittels eines iterativen Prozesses konstruieren. Zu Beginn besteht die Kurve aus einem einzigen Streckenstück.

Die Iteration besteht nun darin, dass alle Streckenabschnitte der Kurve

1. in drei gleichlange Abschnitte unterteilt werden,
2. auf dem jeweils mittleren Abschnitt ein gleichseitiges Dreieck errichtet wird, und
3. die Basis dieses Dreiecks und damit der ursprüngliche mittlere Steckenabschnitt entfernt wird.

Diese Iteration wird nun beliebig oft wiederholt, wobei die Dreiecke stets zur selben Seite der Kurve hin zu errichten sind. Auf diese Weise ergibt sich eine Folge von Streckenzügen, die gegen die Koch-Kurve strebt.

Graphische Darstellung der Konstruktion

Anfangskurve:

______________________________________________________

1. Iteration:

                          /\
                         /  \
                        /    \
                       /      \
                      /        \
                     /          \
                    /            \
                   /              \
__________________/                \__________________

2. Iteration:

                          /\
                         /  \
                  ______/    \______
                  \                /
                   \              /
                    \            /
        /\          /            \          /\        
       /  \        /              \        /  \       
______/    \______/                \______/    \______

3. Iteration:

                        __/\__
                        \    /
                  __/\__/    \__/\__
                  \                /
                  /_              _\
                    \            /
      __/\__      __/            \__      __/\__      
      \    /      \                /      \    /      
__/\__/    \__/\__/                \__/\__/    \__/\__

Nach fünf Iterationen:

Der Grenzwert dieser Iteration, die eigentliche Koch-Kurve, ist in gewissem Sinne unendlich fein strukturiert und kann daher nur näherungesweise graphisch dargestellt werden.

Dieses Konstruktionsprinzip, bei dem iterativ jede Teilstrecke durch einen Streckenzug ersetzt wird, lässt sich auch für die Erzeugung anderer fraktaler Kurven verwenden. So wird es beispielsweise bei der Drachenkurve eingesetzt.

Das Konstruktionsprinzip ist eng verwandt mit dem für die Erzeugung der Cantor-Menge, die man erhält, wenn man das mittlere Drittel der Strecke nicht ersetzt sondern entfernt.

Eigenschaften

• Die Koch-Kurve ist nach ihrer Konstruktionsvorschrift streng selbstähnlich, das heißt es erscheinen bei beliebiger Vergrößerung immer wieder die gleichen Strukturen.

• Die Länge der Kurve ist unbegrenzt, da der Streckenzug bei jedem Iterationsschritt um den Faktor 4/3 länger wird. Nach dem n-ten Iterationsschritt ist die Kurvenlänge auf das (4/3)ⁿ-fache angewachsen.

• Die Kurve ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar.

• Sie hat eine Hausdorffdimension von

Kochsche Schneeflocke

Beginnt man den Ersetzungsprozess der Koch-Kurve nicht mit einer Strecke, sondern mit einem gleichseitigen Dreieck, dann erhält man die kochsche Schneeflocke. Sie besteht aus drei Koch-Kurven und schließt trotz ihrer unendlichen Länge nur einen Bereich mit endlicher Fläche ein.

Programmierbeispiel

Ein Programm in Logo zur Erzeugung einer Koch-Kurve mit :stufe Iterationsschritten lautet:

 to kurve :stufe :laenge
 make "stufe :stufe - 1
 make "laenge :laenge / 3
 if :stufe > 0 [kurve :stufe :laenge rt 60 kurve :stufe :laenge lt 120 kurve :stufe :laenge rt 60 kurve :stufe :laenge]
 if :stufe = 0 [fd :laenge rt 60 fd :laenge lt 120 fd :laenge rt 60 fd :laenge]
 end

Die Schneeflocke kann durch folgendes Programm approximiert werden:

 to flocke :stufe :laenge
 repeat 3 [koch :stufe :laenge lt 120]
 end

Erstveröffentlichungen

• Helge von Koch, Une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire. Arkiv för Matematik 1 (1904) 681-704.
• Helge von Koch, Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes. Acta Mathematica 30 (1906) 145-174.

Weblinks

• http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/vonKochCurve.htm - Weitergehende Darstellungen
• http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Koch.html - Helge von Kochs Biographie
• http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html - vielfältige fraktale Flocken