Mathe Genie Lexikon Kettenbruch Erklärung Bedeutung und Formel

Kettenbruch

Kettenbrüche sind eine eindeutige Darstellungsform der reellen Zahlen. Ein Kettenbruch ist definiert als ein Bruch der Form:

$a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\cdots}}}$

Dabei sind $a 0$ eine ganze Zahl und

$a_1,a_2,\cdots$

natürliche Zahlen ungleich Null.

Eine alternative Schreibweise für Kettenbrüche ist $[a_0; a_1, a_2, \dots]$

Dabei unterscheiden wir endliche Kettenbrüche, periodisch unendliche und nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche.

Inhaltsverzeichnis

1 Endlicher Kettenbruch

2 Unendliche Kettenbrüche

2.1 Periodisch unendliche Kettenbrüche
2.2 Nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche

3 Anwendung

4 Weblinks

Endlicher Kettenbruch

Ein endlicher Kettenbruch hört nach dem n-ten Glied auf, hat also die Form:

$a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\cdots \frac{1}{a_n}}}$

Ein endlicher Kettenbruch beschreibt eine rationale Zahl. Umgekehrt lässt sich auch jede rationale Zahl als endlicher Kettenbruch darstellen. Das lässt sich über den euklidschen Algorithmus realisieren:

Ein Bruch $\frac{a}{b}$ lässt sich wie folgt zerlegen:

a = q₀*b + r₂

b = q₁*r₂ + r₃

r₂ = q₂*r₃ + r₄

r_n = q_n*r_n+1 + r_n+2

r_o = q_o*r_o+1 + 0

Der Bruch wird dann nach folgendem Schema in einen Kettenbruch umgewandelt:

$\frac{a}{b} = q_0 + \frac{r_2}{b} = q_0 + \frac{1}{\frac{b}{r_2}} = q_0 + \frac{1}{q_1 +\frac{r_3}{r_2}} = ...$

Beispiel $\frac{13}{5}$ :

13 = 2*5 + 3

5 = 1*3 + 2

3 = 1*2 + 1

2 = 2*1 + 0

$\frac{13}{5} = 2 + \frac{3}{5} = 2 + \frac{1}{\frac{5}{3}} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{3}{2}}} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$

In der alternativen Schreibweise ist $\frac{13}{5} = [2;1,1,2]$

Unendliche Kettenbrüche

Ein unendlicher Kettenbruch beschreibt eine irrationale Zahl und umgekehrt hat jede irrationale Zahl eine unendliche Kettenbruchentwicklung.

Periodisch unendliche Kettenbrüche

Periodische unendliche Kettenbrüche beschreiben irrationale algebraische Zahlen, die Lösungen von ganzzahligen quadratischen Gleichungen sind. Umgekehrt lässt sich jede irrationale Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten als periodischer unendlicher Kettenbruch darstellen.

Der unendliche Kettenbruch für den Goldenen Schnitt ist:

$\frac12(1+\sqrt{5}) = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}.$

Der unendliche Kettenbruch für die Quadratwurzel aus 2 ist:

$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + ...}}}}.$

Nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche

Jeder nichtperiodische Kettenbruch stellt eine irrationale Zahl dar, die sich nicht als Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt. Umgekehrt lässt sich jede solche Zahl (insbesondere jede transzendente Zahl) als nichtperiodischer Kettenbruch schreiben.

Der unendliche Kettenbruch für die Eulersche Zahl e:

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots].$

wobei sich das hier erkennbare Muster bis ins Unendliche fortsetzt.

Der Kettenbruch zu $?$ hat kein so trivial erkennbares Muster:

$\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots]$

Ebenfalls nichtperiodisch ist z.B. der Kettenbruch für die dritte Wurzel von 2:

$\sqrt[3]{2}$ $= [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, \dots]$

Anwendung

Kettenbrüche sind eine sehr genaue Form der Zahlendarstellung (so kann z.B. ein Computer, der Kettenbrüche beherrscht und Periodizitäten erkennt, jede Wurzel einer Zahl, die er exakt speichern kann, auch wieder exakt wiedergeben).
Kettenbrüche sind manchmal recht angenehm, um etwas zu zeigen, z.B. um algebraische Zahlen von transzendenten Zahlen zu unterscheiden.
Sie eignen sie sich aber kaum zur Berechnung, da keine schnellen Algorithmen zur Berechnung der Summe, Differenz, Produkt oder Quotient zweier Zahlen in Kettenbruchdarstellung bekannt sind, und es für die Berechnung transzendenter und algebraischer Zahlen effektivere und schneller konvergierende Verfahren gibt.

Weblinks

Arbeit von (http://www.tweedledum.com/rwg/cfup.htm) Bill Gosper
Kettenbrüche online berechnen (http://home.t-online.de/home/arndt.bruenner/mathe/scripts/bruchrechnung1.htm#kettenbruch) auf den Matheseiten von Arndt Brünner

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